U={{(Subscript[u, 0]),(Subscript[u, 3]),(Subscript[u, 4])},{(Subscript[u, 3]),(Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 5])},{(Subscript[u, 4]),(Subscript[u, 5]),(Subscript[u, 2])}};
U//MatrixForm
Ω={{(Subscript[o, 0]),(Subscript[o, 1]),(Subscript[o, 2])},{0,(Subscript[o, 4]),(Subscript[o, 5])},{0,0,(Subscript[o, 8])}};
Ω//MatrixForm

ueq=Collect[Tr[Ω.U.Ω\[Transpose]],Array[Subscript[u,#]&,6,0],Simplify]

upper[u_]:={u[[1,1]],u[[2,2]],u[[3,3]],u[[1,2]],u[[1,3]],u[[2,3]]}
ucart=Collect[upper[Ω.U.Ω\[Transpose]],Array[Subscript[u,#]&,6,0],Simplify];
ucart//MatrixForm
Lcart=Normal[CoefficientArrays[ucart, Array[Subscript[u,#]&,6,0]]];
Lcart[[2]]//MatrixForm
TeXForm[Lcart[[2]]]

Cif=DiagonalMatrix[{(SuperStar[a]),(SuperStar[b]),(SuperStar[c])}];
ucif=upper[Inverse[Cif].U.Inverse[Cif]\[Transpose]];
ucif//MatrixForm